Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Члены Государственной Думы образовали фракции так, что для любых двух фракций A и B (не обязательно различных) – тоже фракция (через обозначается множество всех членов Думы, не входящих в C ). Докажите, что для любых двух фракций A и B A B – также фракция.
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.
В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно ? Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки . Докажите, что число оборотов ломаной вокруг нечётно. (Числом оборотов вокруг называется сумма ориентированных углов делённая на .)
В пространстве даны шесть точек общего положения. Для каждых двух из них покрасим красным точки пересечения (если они есть) отрезка между ними и поверхности тетраэдра с вершинами в четырех оставшихся точках. Докажите, что число красных точек четно.
На плоскости даны две замкнутые ломаные (возможно, самопересекающиеся) и точки , , , . Вершины ломаных и эти точки находятся в общем положении (т.е. никакие три из них не лежат на прямой и никакие три отрезка, их соединяющие, не имеют общей внутренней точки). Каждый из отрезков и пересекает ломаную в четном количестве точек, а каждый из отрезков и – в нечетном. Ломаная , наоборот, пересекает каждый из отрезков и в нечетном количестве точек, а каждый из отрезков и – в четном. Докажите, что ломаные и пересекаются.