Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Даны три неотрицательных числа <i>a, b, c</i>. Про них известно, что <i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup> + <i>c</i><sup>4</sup> ≤ 2(<i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>c</i>²<i>a</i>²).
а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
б) Докажите, что <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≤ 2(<i>ab + bc + ca</i>).
в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?
Назовём натуральное число <i>почти квадратом</i>, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел.
Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.
Целые числа <i>a, x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>13</sub> таковы, что <i>a</i> = (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)(1 + <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 + <i>x</i><sub>13</sub>) = (1 – <i>x</i><sub>1</sub>)(1 – <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 – <i>x</i><sub>13</sub>). Докажите, что <i>ax</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>...<i>x</i><sub>13</sub> = 0.
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что для любых ненулевых цифр <i>a</i> и <i>b</i> число <span style="text-decoration: overline;"><i>anb</i></span> делится на <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> ? (Через <span style="text-decoration: overline;"><i>x...y</i></span> обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел <i>x, ..., y</i>.)