Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями

В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

Найдите все простые <i>p</i>, для каждого из которых существуют такие натуральные <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>p^x = y</i>³ + 1.

Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, большие 1 и такие, что  2<i>^a</i> + 1  делится на <i>b</i>,  2<i>^b</i> + 1  делится на <i>c</i>, а  2<i>^c</i> + 1  делится на <i>a</i>?

Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.

Существуют ли действительные числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>такие, что при всех действительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется неравенство <center><i>

|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|? </i></center>

Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109823/problem_109823_img_2.gif"> ,   где <i>a, b, c, d</i> – натуральные числа.

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Пусть натуральные числа <i>x, y, p, n</i> и <i>k</i> таковы, что  <i> xⁿ + yⁿ = p^k</i>.

Докажите, что если число <i>n</i>  (<i>n</i> > 1)  нечётно, а число <i>p</i> нечётное простое, то <i>n</i> является степенью числа <i>p</i> (с натуральным показателем).

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

Отрезки <i>AB</i> и <i>CD</i> лежат на двух сторонах угла <i>BOD</i> (<i>A</i> лежит между <i>O</i> и <i>B, C</i> – между <i>O</i> и <i>D</i>). Через середины отрезков <i>AD</i> и <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M, A</i> и <i>B</i> лежат на одной стороне угла; <i>N, C</i> и <i>D</i> – на другой). Докажите, что

<i>OM</i> : <i>ON = AB</i> : <i>CD</i>.

Решите в натуральных числах уравнение  3^<i>x</i> + 4^<i>y</i> = 5^<i>z</i>.

Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет.

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> с натуральными коэффициентами найдется такое целое число <i>k</i>, что числа  <i>P</i>(<i>k</i>),  <i>P</i>(<i>k</i> + 1),  ...,

<i>P</i>(<i>k</i> + 1996)  будут составными, если

  а)  <i>n</i> = 1;

  б)  <i>n</i> – произвольное натуральное число.

Дано равенство  (<i>a</i>^<i>m</i>₁ – 1)...(<i>a</i>^{<i>m</i>_<i>n</i>} – 1) = (<i>a</i>^<i>k</i>₁ + 1)...(<i>a</i>^{<i>k</i>_<i>l</i>} + 1),  где <i>a, n, l</i> и все показатели степени – натуральные числа, причём  <i>a</i> > 1.

Найдите все возможные значения числа <i>a</i>.

Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>x</i>⁴ – 2<i>y</i>² = 1.

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

<i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/105065/problem_105065_img_2.gif">

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа  <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>²  и  <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>²  являются полными квадратами.

Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a </i> > 1,  <i>b</i> > 1,  и  [<i>a^m</i>]  отлично от  [<i>bⁿ</i>]  при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?

Cлава перемножил первые <i>n</i> натуральных чисел, а Валера перемножил первые <i>m</i> чётных натуральных чисел (<i>n</i> и <i>m</i> больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Докажите, что существует бесконечно много нечётных <i>n</i>, для которых число  2<i>ⁿ + n</i>  – составное.