Задача № 211863
Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде x = ap + bp (с натуральными a, b) при всех p ∈ P и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.
Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210197
Найдите все такие пары (x, y) натуральных чисел, что x + y = an, x² + y² = am для некоторых натуральных a, n, m.
Задача № 210069
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
Задача № 209838
Докажите, что sin
Задача № 209828
Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y15. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.
Задача № 209818
Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что xy + 1 = z². Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p ≥ q + 2.
Задача № 209798
Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; An (1 n 30) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10, то A1>1.
Задача № 209754
Докажите, что для всех x(0;)при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство 2| sinn x- cosn x| 3| sinm x- cosm x|;
Задача № 209625
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном k > 1, выполняется равенство 3n = xk + yk.
Задача № 209602
Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Задача № 207795
Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что 3n–1 – 2n–1 кратно n.
Задача № 205070
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
Задача № 198355
Пусть 1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1). Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).