Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике для 3-8 класса

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109823/problem_109823_img_2.gif"> ,   где <i>a, b, c, d</i> – натуральные числа.

Натуральные числа <i>x, y, z</i>  (<i>x</i> > 2,  <i>y</i> > 1)  таковы, что  <i>x^y</i> + 1 = <i>z</i>².  Обозначим через <i>p</i> количество различных простых делителей числа <i>x</i>, через <i>q</i> – количество различных простых делителей числа <i>y</i>. Докажите, что  <i>p ≥ q</i> + 2.

Пусть натуральные числа <i>x, y, p, n</i> и <i>k</i> таковы, что  <i> xⁿ + yⁿ = p^k</i>.

Докажите, что если число <i>n</i>  (<i>n</i> > 1)  нечётно, а число <i>p</i> нечётное простое, то <i>n</i> является степенью числа <i>p</i> (с натуральным показателем).

Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых взаимно простых <i>x</i> и <i>y</i> и натуральном  <i>k</i> > 1,  выполняется равенство  3<i>ⁿ = x^k + y^k</i>.

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

Отрезки <i>AB</i> и <i>CD</i> лежат на двух сторонах угла <i>BOD</i> (<i>A</i> лежит между <i>O</i> и <i>B, C</i> – между <i>O</i> и <i>D</i>). Через середины отрезков <i>AD</i> и <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M, A</i> и <i>B</i> лежат на одной стороне угла; <i>N, C</i> и <i>D</i> – на другой). Докажите, что

<i>OM</i> : <i>ON = AB</i> : <i>CD</i>.

Решите в натуральных числах уравнение  3^<i>x</i> + 4^<i>y</i> = 5^<i>z</i>.

Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет.

Доказать, что существует бесконечно много таких составных <i>n</i>, что  3^<i>n</i>–1 – 2^<i>n</i>–1 кратно <i>n</i>.

Дано равенство  (<i>a</i>^<i>m</i>₁ – 1)...(<i>a</i>^{<i>m</i>_<i>n</i>} – 1) = (<i>a</i>^<i>k</i>₁ + 1)...(<i>a</i>^{<i>k</i>_<i>l</i>} + 1),  где <i>a, n, l</i> и все показатели степени – натуральные числа, причём  <i>a</i> > 1.

Найдите все возможные значения числа <i>a</i>.

Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>x</i>⁴ – 2<i>y</i>² = 1.

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

<i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/105065/problem_105065_img_2.gif">

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа  <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>²  и  <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>²  являются полными квадратами.

Cлава перемножил первые <i>n</i> натуральных чисел, а Валера перемножил первые <i>m</i> чётных натуральных чисел (<i>n</i> и <i>m</i> больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Рассматриваются тройки целых чисел <i>a, b</i> и <i>c</i>, для которых выполнено условие:  <i>a + b + c</i> = 0.  Для каждой такой тройки вычисляется число

<i>d = a</i>¹⁹⁹⁹ + <i>b</i>¹⁹⁹⁹ + <i>c</i>¹⁹⁹⁹.   Может ли случиться, что

  а)  <i>d</i> = 2?

  б) <i>d</i> – простое число?

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.

Найдите последнее число.

  В треугольнике <i>ABC</i> отрезки <i>CM</i> и <i>BN</i> – медианы, <i>P</i> и <i>Q</i> – точки соответственно на <i>AB</i> и <i>AC</i> такие, что биссектриса угла <i>C</i> треугольника одновременно является биссектрисой угла <i>MCP</i>, а биссектриса угла <i>B</i> – биссектрисой угла <i>NBQ</i>. Можно ли утверждать, что треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, если

  а)  <i>BP = CQ</i>;

  б)  <i>AP = AQ</i>;

  в)  <i>PQ || BC</i>? 

<i>CM</i> и <i>BN</i> – медианы треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – такие точки соответственно на <i>AB</i> и <i>AC</i>, что биссектриса угла <i>C</i> треугольника одновременно является биссектрисой угла <i>MCP</i>, а биссектриса угла <i>B</i> – биссектрисой угла <i>NBQ</i>. Оказалось, что  <i>AP = AQ</i>.  Следует ли из этого, что треугольник <i>ABC</i> равнобедренный?

а) Докажите для всех <i>n</i> > 2 неравенство     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_2.gif">б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, что для всех  <i>n</i> > 2   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_3.gif">

Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98319/problem_98319_img_2.gif">

Существуют ли три таких различных простых числа <i>p, q, r</i>, что  <i>p</i>² + <i>d</i>  делится на <i>qr,  q</i>² + <i>d</i>  делится на <i>rp,  r</i>² + <i>d</i>  делится на <i>pq</i>, если

  а)  <i>d</i> = 10,

  б)  <i>d</i> =11?

Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел  <i>n</i> – 1,  <i>n</i>,  <i>n</i> + 1,  что:

  a) <i>n</i> представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет;

  б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

Существует ли такое число <i>n</i> , что числа

  а)  <i>n</i> – 96,  <i>n</i>,  <i>n</i> + 96;

  б)  <i>n</i> – 1996,  <i>n</i>,  <i>n</i> + 1996

простые? (Все простые числа считаем положительными.)