Сендеров В.А. — олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса

Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.

Существуют ли действительные числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>такие, что при всех действительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется неравенство <center><i>

|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|? </i></center>

Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.

Докажите, что<i> sin<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_2.gif"><<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_3.gif"> </i>при0<i><x<<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_4.gif"> </i>.

Натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что  2<i>x</i>² – 1 = <i>y</i>¹⁵.  Докажите, что если  <i>x</i> > 1,  то <i>x</i> делится на 5.

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109823/problem_109823_img_2.gif"> ,   где <i>a, b, c, d</i> – натуральные числа.

Натуральные числа <i>x, y, z</i>  (<i>x</i> > 2,  <i>y</i> > 1)  таковы, что  <i>x^y</i> + 1 = <i>z</i>².  Обозначим через <i>p</i> количество различных простых делителей числа <i>x</i>, через <i>q</i> – количество различных простых делителей числа <i>y</i>. Докажите, что  <i>p ≥ q</i> + 2.

Пусть<i> M={x₁, .., x</i>30<i>} </i>– множество, состоящее из 30 различных положительных чисел;<i> A_n </i>(1<i><img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> n<img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> </i>30) – сумма всевозможных произведений различных<i> n </i>элементов множества<i> M </i>. Докажите, что если<i> A</i>15<i>>A</i>10, то<i> A₁></i>1.

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Докажите, что для всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_2.gif"></i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_3.gif"></i>)при<i> n>m </i>, где<i> n,m </i>– натуральные, справедливо неравенство <center>2<i>| sinⁿ x- cosⁿ x|<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_4.gif"> </i>3<i>| sin^m x- cos^m x|; </i></center>

Пусть натуральные числа <i>x, y, p, n</i> и <i>k</i> таковы, что  <i> xⁿ + yⁿ = p^k</i>.

Докажите, что если число <i>n</i>  (<i>n</i> > 1)  нечётно, а число <i>p</i> нечётное простое, то <i>n</i> является степенью числа <i>p</i> (с натуральным показателем).

Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых взаимно простых <i>x</i> и <i>y</i> и натуральном  <i>k</i> > 1,  выполняется равенство  3<i>ⁿ = x^k + y^k</i>.

Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.

Решите в натуральных числах уравнение  3^<i>x</i> + 4^<i>y</i> = 5^<i>z</i>.

Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет.

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> с натуральными коэффициентами найдется такое целое число <i>k</i>, что числа  <i>P</i>(<i>k</i>),  <i>P</i>(<i>k</i> + 1),  ...,

<i>P</i>(<i>k</i> + 1996)  будут составными, если

  а)  <i>n</i> = 1;

  б)  <i>n</i> – произвольное натуральное число.

Доказать, что существует бесконечно много таких составных <i>n</i>, что  3^<i>n</i>–1 – 2^<i>n</i>–1 кратно <i>n</i>.

Дано равенство  (<i>a</i>^<i>m</i>₁ – 1)...(<i>a</i>^{<i>m</i>_<i>n</i>} – 1) = (<i>a</i>^<i>k</i>₁ + 1)...(<i>a</i>^{<i>k</i>_<i>l</i>} + 1),  где <i>a, n, l</i> и все показатели степени – натуральные числа, причём  <i>a</i> > 1.

Найдите все возможные значения числа <i>a</i>.

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + <i>n^k</i>)^<i>l</i> = 1 + <i>n^m</i>,  где  <i>l</i> > 1.

<i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/105065/problem_105065_img_2.gif">

Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a </i> > 1,  <i>b</i> > 1,  и  [<i>a^m</i>]  отлично от  [<i>bⁿ</i>]  при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Докажите, что существует бесконечно много нечётных <i>n</i>, для которых число  2<i>ⁿ + n</i>  – составное.

Пусть  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>n</i>–1 = <i>F</i>(<i>x</i>)<i>G</i>(<i>x</i>),  где <i>F</i> и <i>G</i> – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (<i>n</i> > 1).

Докажите, что один из многочленов <i>F</i>, <i>G</i> представим в виде  (1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>k</i>–1)<i>T</i>(<i>x</i>),  где <i>T</i>(<i>x</i>) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (<i>k</i> > 1).