Задача № 216194
Bнутри треугольника ABC выбрана произвольная точка M. Докажите, что MA + MB + MC ≤ max {AB + BC, BC + AC, AC + AB}.
Седракян Н. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208044
Вершины правильного треугольника расположены на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что эти треугольник и шестиугольник имеют общий центр.
Задача № 198148
В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата). Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.
Задача № 198016
Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100. Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).
Задача № 166838
Точка лежит внутри выпуклого четырёхугольника на одинаковом расстоянии от прямых и и на одинаковом расстоянии от прямых и . Оказалось, что площадь четырёхугольника равна . Докажите, что четырёхугольник а) вписанный; б) описанный.
Задача № 166828
Два остроугольных треугольника и таковы, что точки и лежат на стороне , а точка – внутри треугольника ABC. Пусть и – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что .
Задача № 166732
Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно больше 30°. Каково наибольшее возможное значение ?
Задача № 166726
Докажите, что а) любое число вида 3k – 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел; б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.