Задача № 216194
Bнутри треугольника ABC выбрана произвольная точка M. Докажите, что MA + MB + MC ≤ max {AB + BC, BC + AC, AC + AB}.
Седракян Н. — олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208223
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .
Задача № 198016
Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100. Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).
Задача № 166838
Точка лежит внутри выпуклого четырёхугольника на одинаковом расстоянии от прямых и и на одинаковом расстоянии от прямых и . Оказалось, что площадь четырёхугольника равна . Докажите, что четырёхугольник а) вписанный; б) описанный.
Задача № 166828
Два остроугольных треугольника и таковы, что точки и лежат на стороне , а точка – внутри треугольника ABC. Пусть и – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что .
Задача № 166742
Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.
Задача № 166732
Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно больше 30°. Каково наибольшее возможное значение ?
Задача № 166726
Докажите, что а) любое число вида 3k – 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел; б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.
Задача № 166721
В треугольнике точка – середина стороны , точка лежит внутри стороны , . Докажите, что треугольник тупоугольный.
Задача № 165865
Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q?