Произволов В.В. — олимпиадные задачи по математике

Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.

На острове Контрастов живут и рыцари, и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?

Для натуральных чисел <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>² + <i>xy + y</i>²  в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.

<i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2<i>n</i> дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: <i>a, b</i> или <i>c</i>. Докажите, что <i>n</i>-угольник с красными вершинами и <i>n</i>-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.

Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.

2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.

Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.

В таблицу записано девять чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98418/problem_98418_img_2.gif"></div>Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:<div align="center"><i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃ = <i>b</i>₁ + <i>b</i>₂ + <i>b</i>₃ = <i>c</i>₁ + <i>c</i>₂ + <i>c</i>₃ = <i>a</i>₁ + <i>b</i>₁ + &...

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Шахматный король обошёл всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.

Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов.

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).

Найдите объём исходного куба.

Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).

Найдите площадь исходного квадрата.

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер  <i>a, b, c</i>  этого куба.

Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AD = ^AB</i>/_<i>n</i>.  Найдите сумму  <i>n</i> – 1  углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:

  а) при  <i>n</i> = 3;

  б) при произвольном <i>n</i>.

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AD = ^AB</i>/_<i>n</i>.

Докажите,что сумма  <i>n</i> – 1  углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей, равна 30°:

  а) при  <i>n</i> = 3;

  б) при произвольном <i>n</i>.

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?

б) А три таких семиугольника?

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)  

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).

  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?

  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем &frac13; площади всего многоугольника.   в) Можно ли в пункте б) заменить число &frac13; на большее? (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Из центра окружности выходят <i>N</i> векторов, концы которых делят её на <i>N</i> равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Докажите, что для любого натурального  <i>n</i> ≥ 2  справедливо неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97937/problem_97937_img_2.gif">.

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

  Радиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_<i>N</i>  (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i>₀, через секунду – <i>OM</i>₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i>₂, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i>₃, и т. д., ещё через  <i>N</i> – 1  секунду после <i>ОМ</i>_<i>N</i>–2  – <i>OM</i>_<i>N</i>–1.

  При каких <i>N...