Произволов В.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Прямая отсекает треугольник <i>AKN</i> от правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i> так, что <i>AK + AN = AB</i>.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок <i>KN</i> виден из вершин шестиугольника (∠<i>KAN</i> + ∠<i>KBN</i> + ∠<i>KCN</i> + ∠<i>KDN</i> + ∠<i>KEN</i> + ∠<i>KFN</i>).
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>² и <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>² являются полными квадратами.
Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?
Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?
На острове Контрастов живут и рыцари, и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?
Для натуральных чисел <i>x</i> и <i>y</i> число <i>x</i>² + <i>xy + y</i>² в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.
На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.
Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.
Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.
Шахматный король обошёл всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.
Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов.
Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.
Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.
Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер <i>a, b, c</i> этого куба.
Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.
Через <i>n</i>!! обозначается произведение <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)... до единицы (или до двойки): например, 8!! = 8·6·4·2; 9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что 1985!! + 1986!! делится на 1987.
<img align="right" src="/storage/problem-media/97867/problem_97867_img_2.gif">Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.