Произволов В.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что  ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>,  ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>,  ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>.  Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

В прямоугольном треугольнике<i> ABC </i>точка<i> O </i>– середина гипотенузы<i> AC </i>. На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> M </i>, а на отрезке<i> BC </i>– точка<i> N </i>, причём угол<i> MON </i>– прямой. Докажите, что<i> AM</i>2<i>+CN</i>2<i> = MN</i>2.

Прямая отсекает от правильного 10-угольника <i>ABCDEFGHIJ</i> со стороной 1 треугольник <i>PAQ</i>, в котором  <i>PA + AQ</i> = 1.

Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок <i>PQ</i> из вершин <i>B, C, D, E, F, G, H, I, J</i>.

Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> равны соответственно сторонам <i>A'B', B'C', C'D'</i> и <i>D'A'</i> четырёхугольника <i>A'B'C'D'</i>, причём известно, что  <i>AB || CD</i>  и  <i>B'C' || D'A'</i>.  Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.

Квадрат <i>ABCD</i> и окружность $\Omega$ пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: <i>AEF</i>, <i>BGH</i>, <i>CIJ</i>, <i>DKL</i> (<i>EF</i>, <i>GH</i>, <i>IJ</i>, <i>KL</i> — дуги окружности). Докажите, что

а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;

б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.

Числа <i>x, y, z</i> удовлетворяют равенству  <i>x + y + z</i> – 2(<i>xy + yz + xz</i>) + 4<i>xyz</i> = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.

Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Пусть <i>a, b, c</i> – такие целые неотрицательные числа, что   28<i>a</i> + 30<i>b</i> + 31<i>c</i> = 365.  Докажите, что  <i>a + b + c</i> = 12.

Найдутся ли натуральные числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие условию  28<i>x</i> + 30<i>y</i> + 31<i>z</i> = 365?

В выпуклом шестиугольнике <i>AC</i>₁<i>BA</i>₁<i>CB</i>₁   <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>₁,  <i>BC</i>₁ = <i>BA</i>₁,  <i>CA</i>₁ = <i>CB</i>₁  и  ∠<i>A</i> + ∠<i>B</i> + ∠<i>C</i> = ∠<i>A</i>₁ + ∠<i>B</i>₁ + ∠<i>C</i>₁.

Докажите, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна половине площади шестиугольника.

В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причём в разных горизонталях – разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить 8 фигур так, чтобы в каждой вертикали и каждой горизонтали стояла ровно одна отмеченная фигура.

В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

Прямая отсекает треугольник <i>AKN</i> от правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i> так, что  <i>AK + AN = AB</i>.

Найдите сумму углов, под которыми отрезок <i>KN</i> виден из вершин шестиугольника  (∠<i>KAN</i> + ∠<i>KBN</i> + ∠<i>KCN</i> + ∠<i>KDN</i> + ∠<i>KEN</i> + ∠<i>KFN</i>).

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа  <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>²  и  <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>²  являются полными квадратами.

Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).

Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников (см. рисунок). Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?<img src="/storage/problem-media/103890/problem_103890_img_2.gif">

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.

Какие числа остались на доске?

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.

На острове Контрастов живут и рыцари, и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?

Для натуральных чисел <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>² + <i>xy + y</i>²  в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.

<i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2<i>n</i> дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: <i>a, b</i> или <i>c</i>. Докажите, что <i>n</i>-угольник с красными вершинами и <i>n</i>-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.

Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.