Подлипский О.К. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2-5 с решениями

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более2<i>N </i>(<i> N></i>3) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.<ol type="1"> <li>Для любых <i> N </i> векторов этого множества найдется еще такой <i> N-</i>1 вектор из этого множества, что сумма всех 2<i>N-</i>1 векторов равна нулю;

</li><li>для любых <i> N </i> векторов этого множества найдутся еще такие <i> N </i> векторов из этого множества, что сумма всех 2<i>N </i> векторов равна нулю. </li></ol>

В стране <i>n</i> городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

Приведенные квадратные трёхчлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.

Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного <i>x</i> будет выполняться неравенство α<i>f</i>(<i>x</i>) + β<i>g</i>(<i>x</i>) > 0.

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> и спросить, верно ли, что

<i>m</i>(<i>A</i>) < <i>m</i>(<i>B</i>) < <i>m</i>(<i>C</i>)  (через <i>m</i>(<i>x</i>) обозначена масса гири <i>x</i>). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i&gt...

Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?

На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём <i>временем перевода</i>. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

<img align="right" src="/storage/problem-media/109460/problem_109460_img_2.gif">Дан набор одинаковых правильных пятиугольников, при вершинах каждого из которых записаны натуральные числа от 1 до 5, как показано на рисунке. Пятиугольники можно поворачивать и переворачивать. Их сложили в стопку (вершина к вершине), и оказалось, что при каждой из пяти вершин суммы чисел одинаковы. Сколько пятиугольников могло быть в этой стопке?

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.

Докажите, что числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif">  также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Даны натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, причём  <i>a < b</i> < 2<i>a</i>. На клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в каждом клетчатом прямоугольнике <i>a</i>×<i>b</i> или <i>b</i>×<i>a</i> есть хотя бы одна отмеченная клетка. При каком наибольшем α можно утверждать, что для любого натурального <i>N</i> найдётся клетчатый квадрат <i>N</i>×<i>N</i>, в котором отмечено хотя бы α<i>N</i>² клеток?

Назовём натуральное число <i>интересным</i>, если сумма его цифр – простое число.

Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого <i>k</i> из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем <i>k</i> это могло случиться?

Назовём натуральное число <i>хорошим</i>, если среди его делителей есть ровно два простых числа.

Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?

(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)