Задача № 20967410 класс11 класс5 / 5
Дан выпуклый n -угольник ( n>3), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
Задача № 20962610 класс11 класс4 / 5
Докажите, что если числа a1, a2, ..., am отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство: a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0, то в последовательности a1, a2, ..., am есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Задача № 2096049 класс10 класс11 класс5 / 5
Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.
Задача № 2095689 класс10 класс11 класс4 / 5
На прямой отмечены n различных синих точек и n различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.