Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через Ra, Rb, Rc и Rd радиусы описанных окружностей треугольников DAB, ABC, BCD, CDA. Докажите, что неравенство Ra < Rb < Rc < Rd выполняется тогда и только тогда, когда 180° – ∠CDB < ∠CAB < ∠CDB.
Числовая последовательность a0 , a1 , a2 , такова, что при всех неотрицательных m и n ( m n ) выполняется соотношение am+n+am-n=(a2m+a2n). Найдите a1995, если a1=1.
Пусть –1 < x1 < x2 < ... < xn < 1 и Докажите, что если y1 < y2 < ... < yn, то
Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.
Докажите, что если числа a1, a2, ..., am отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство: a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0, то в последовательности a1, a2, ..., am есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
На прямой отмечены n различных синих точек и n различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.