Мурашкин М.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями
Дан правильный 12-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>12</sub>.
Можно ли из 12 векторов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66104/problem_66104_img_2.gif"> выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?
Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пересекает еще какой-нибудь прямоугольник?