Мурашкин М.В. — олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса
Пусть <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>10</sub> – натуральные числа, <i>a</i><sub>1</sub> < <i>a</i><sub>2</sub> < ... < <i>a</i><sub>10</sub>. Пусть <i>b<sub>k</sub></i> – наибольший делитель <i>a<sub>k</sub></i>, меньший <i>a<sub>k</sub></i>. Оказалось, что <i>b</i><sub>1</sub> > <i>b</i><sub>2</sub> > ... > <i>b</i><sub>10</sub>.
Докажите, что <i>a</i><sub>10</sub> > 500.
Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.
Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых?
Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесённом доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры
а) 20×20 клеток;
б) 50×90 клеток?
Дан правильный 12-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>12</sub>.
Можно ли из 12 векторов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66104/problem_66104_img_2.gif"> выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?
Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пересекает еще какой-нибудь прямоугольник?