Маркелов С.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями

Назовём<i>полоской</i>клетчатый многоугольник, который можно пройти целиком, начав из какой-то его клетки и далее двигаясь только в двух направлениях — вверх или вправо. Несколько таких одинаковых полосок можно вставить друг в друга, сдвигая на вектор (–1, 1). Докажите, что для любой полоски, состоящей из чётного числа клеток, найдётся такое нечётное $k$, что если объединить $k$ таких же полосок, вставив их последовательно друг в друга, то полученный многоугольник можно будет разделить по линиям сетки на две равные части. (На рисунке приведён пример.)<img width="200" src="/storage/problem-media/67435/problem_67435_img_2.png">

Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и записали на ней это число. а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки?

б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?

Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?

Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник <i>P</i> и такая точка <i>A</i> на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку <i>A</i>, делит периметр многоугольника <i>P</i> на два куска равной длины?

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>BC</i> отмечена точка <i>K</i>. В треугольники <i>ABK</i> и <i>ACK</i> вписаны окружности, первая касается стороны <i>BC</i> в точке <i>M</i>, вторая – в точке <i>N</i>. Докажите, что  <i>BM·CN > KM·KN</i>.

На плоскости даны парабола  <i>y = x</i>²  и окружность, имеющие ровно две общие точки: <i>A</i> и <i>B</i>. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке <i>A</i> совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке <i>B</i> также совпадают?

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути <i>по поверхности параллелепипеда</i>.)

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении  1 : 2. б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку <i>X</i>. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему <i>X</i> с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

В параллелограмме <i>ABCD</i> угол <i>ACD</i> равен <!-- MATH $30^{\circ}$ --> 30^<tt>o</tt>. Известно, что центры окружностей, описанных около треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i>, расположены на диагонали <i>AC</i>. Найдите угол <i>ABD</i>.