Маркелов С.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник <i>P</i> и такая точка <i>A</i> на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку <i>A</i>, делит периметр многоугольника <i>P</i> на два куска равной длины?
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>BC</i> отмечена точка <i>K</i>. В треугольники <i>ABK</i> и <i>ACK</i> вписаны окружности, первая касается стороны <i>BC</i> в точке <i>M</i>, вторая – в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>BM·CN > KM·KN</i>.
На плоскости даны парабола <i>y = x</i>² и окружность, имеющие ровно две общие точки: <i>A</i> и <i>B</i>. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке <i>A</i> совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке <i>B</i> также совпадают?
Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути <i>по поверхности параллелепипеда</i>.)
Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).
а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 1 : 2. б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?
Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку <i>X</i>. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему <i>X</i> с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.
В параллелограмме <i>ABCD</i> угол <i>ACD</i> равен <!-- MATH $30^{\circ}$ --> 30<sup><tt>o</tt></sup>. Известно, что центры окружностей, описанных около треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i>, расположены на диагонали <i>AC</i>. Найдите угол <i>ABD</i>.