Маркелов С.В. — олимпиадные задачи по математике для 2-8 класса
Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)
Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего ортоцентры треугольников <i>ABC</i> и <i>DEF</i>, где <i>A, B, C, D, E, F</i> – эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и записали на ней это число. а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки?
б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?
Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы $a(x) + b(x)$, где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а) ровно одним способом?
б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.
Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.
На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник <i>P</i> и такая точка <i>A</i> на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку <i>A</i>, делит периметр многоугольника <i>P</i> на два куска равной длины?
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>BC</i> отмечена точка <i>K</i>. В треугольники <i>ABK</i> и <i>ACK</i> вписаны окружности, первая касается стороны <i>BC</i> в точке <i>M</i>, вторая – в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>BM·CN > KM·KN</i>.
Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути <i>по поверхности параллелепипеда</i>.)
Через вершину <i>A</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, не пересекающая отрезок <i>BC</i>. По разные стороны от точки <i>A</i> на этой прямой взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>AM = AN = AB</i> (точка <i>B</i> внутри угла <i>MAC</i>). Докажите, что прямые <i>AB, AC, BN, CM</i> образуют вписанный четырёхугольник.
а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 1 : 2. б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?
Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку <i>X</i>. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему <i>X</i> с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.
В параллелограмме <i>ABCD</i> угол <i>ACD</i> равен <!-- MATH $30^{\circ}$ --> 30<sup><tt>o</tt></sup>. Известно, что центры окружностей, описанных около треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i>, расположены на диагонали <i>AC</i>. Найдите угол <i>ABD</i>.