Маркелов С.В. — олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.
Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.
На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник <i>P</i> и такая точка <i>A</i> на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку <i>A</i>, делит периметр многоугольника <i>P</i> на два куска равной длины?
В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>BC</i> отмечена точка <i>K</i>. В треугольники <i>ABK</i> и <i>ACK</i> вписаны окружности, первая касается стороны <i>BC</i> в точке <i>M</i>, вторая – в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>BM·CN > KM·KN</i>.
На плоскости даны парабола <i>y = x</i>² и окружность, имеющие ровно две общие точки: <i>A</i> и <i>B</i>. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке <i>A</i> совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке <i>B</i> также совпадают?
Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути <i>по поверхности параллелепипеда</i>.)
Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).
Через вершину <i>A</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, не пересекающая отрезок <i>BC</i>. По разные стороны от точки <i>A</i> на этой прямой взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>AM = AN = AB</i> (точка <i>B</i> внутри угла <i>MAC</i>). Докажите, что прямые <i>AB, AC, BN, CM</i> образуют вписанный четырёхугольник.
а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 1 : 2. б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?
Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку <i>X</i>. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему <i>X</i> с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.