Кожевников П.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями
Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить луч так, чтобы никакие два луча не имели общей точки и при этом среди прямых, содержащих эти лучи, никакие две не были бы параллельны?
Взяли все 100-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра – какая-то из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из этих чисел делятся на $2^{100}$?
Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$ и $BH_B$. Прямая $H_AH_B$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $BC$, точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $CA$. Докажите, что $A', B'$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.
В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$. Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре. Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
Секущая пересекает первую окружность в точках $A_1, B_1$, а вторую – в точках $A_2, B_2$. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1, D_1$, а вторую – в точках $C_2, D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1\cap B_2D_2$, $A_1C_1\cap A_2C_2$, $A_2C_2\cap B_1D_1$, $B_2D_2\cap B_1D_1$ лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.
На каждой из двух параллельных прямых <i>a</i> и <i>b</i> отметили по 50 точек. Каково наибольшее возможное количество остроугольных треугольников с вершинами в этих точках?
Пусть <i>BH<sub>b</sub>, CH<sub>c</sub></i> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>H<sub>b</sub>H<sub>c</sub></i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> симметричны <i>X</i> и <i>Y</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что <i>PQ || BC</i>.
В треугольнике<i>ABC I</i>и<i>I<sub>a</sub></i>– центры вписанной и вневписанной окружностей,<i>A'</i>точка описанной окружности, диаметрально противоположная<i>A, AA</i><sub>1</sub>– высота. Докажите, что ∠<i>IA'I<sub>a</sub></i>= ∠<i>IA</i><sub>1</sub><i>I<sub>a</sub></i>.
Пусть <i>f</i>(<i>x</i>) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i> при любом значении <i>a</i> имеет чётное число решений?
Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω<sub><i>b</i></sub> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω<sub><i>c</i></sub> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω<sub><i>b</i></sub> и Ω<sub><i>c</i></sub> имеют общую точку.
Углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> совмещаются поворотом так, что луч <i>OA</i> совмещается с лучом <i>OC</i>, а луч <i>OB</i> – с <i>OD</i>. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Доказать, что углы <i>AOE</i> и <i>DOF</i> равны.
Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.
Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)
У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.
В пространстве дан треугольник <i>ABC</i> и сферы <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>, каждая из которых проходит через точки <i>A, B</i> и <i>C</i>. Для точек <i>M</i> сферы <i>S</i><sub>1</sub>, не лежащих в плоскости треугольника <i>ABC</i>, проводятся прямые <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>, пересекающие сферу <i>S</i><sub>2</sub> вторично в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i...
Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?
а) В треугольник <i>ABC</i> вписаны треугольники <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> так, что <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> ⊥ <i>BC</i>, <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> ⊥ <i>CA</i>, <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> ⊥ <i>AB</i>, <i>B</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>2</sub> ⊥ <i>BC</i>, &...
В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.
Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>D</i> и <i>E</i> – основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> на прямые <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точка пересечения высот треугольника <i>ADE</i> является серединой отрезка <i>BC</i>.
В треугольнике <i>АВС М</i> – точка пересечения медиан, <i>О</i> – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая <i>ОМ</i> параллельна стороне <i>ВС</i>, то точка <i>О</i> равноудалена от середин сторон <i>АВ</i> и <i>АС</i>.