Кожевников П.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями

На каждой из двух параллельных прямых <i>a</i> и <i>b</i> отметили по 50 точек. Каково наибольшее возможное количество остроугольных треугольников с вершинами в этих точках?

Пусть <i>BH_b, CH_c</i> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>H_bH_c</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> симметричны <i>X</i> и <i>Y</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что  <i>PQ || BC</i>.

В треугольнике<i>ABC  I</i>и<i>I_a</i>– центры вписанной и вневписанной окружностей,<i>A'</i>точка описанной окружности, диаметрально противоположная<i>A, AA</i>₁– высота. Докажите, что  ∠<i>IA'I_a</i>= ∠<i>IA</i>₁<i>I_a</i>.

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) – некоторый многочлен ненулевой степени.

Может ли оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>  при любом значении <i>a</i> имеет чётное число решений?

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω_<i>b</i> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω_<i>c</i> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω_<i>b</i> и Ω_<i>c</i> имеют общую точку.

Углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> совмещаются поворотом так, что луч <i>OA</i> совмещается с лучом <i>OC</i>, а луч <i>OB</i> – с <i>OD</i>. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Доказать, что углы <i>AOE</i> и <i>DOF</i> равны.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)

У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.

В пространстве дан треугольник <i>ABC</i> и сферы <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂, каждая из которых проходит через точки <i>A, B</i> и <i>C</i>. Для точек <i>M</i> сферы <i>S</i>₁, не лежащих в плоскости треугольника <i>ABC</i>, проводятся прямые <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>, пересекающие сферу <i>S</i>₂ вторично в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки <i>A</i>₁, <i>B</i...

Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

а) В треугольник <i>ABC</i> вписаны треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ так, что  <i>C</i>₁<i>A</i>₁ ⊥ <i>BC</i>,  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ ⊥ <i>CA</i>,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>AB</i>,  <i>B</i>₂<i>A</i>₂ ⊥ <i>BC</i>,  &...

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.

Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).

Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>D</i> и <i>E</i> – основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> на прямые <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точка пересечения высот треугольника <i>ADE</i> является серединой отрезка <i>BC</i>.

В треугольнике <i>АВС  М</i> – точка пересечения медиан, <i>О</i> – центр вписанной окружности.

Докажите, что если прямая <i>ОМ</i> параллельна стороне <i>ВС</i>, то точка <i>О</i> равноудалена от середин сторон <i>АВ</i> и <i>АС</i>.