Кожевников П.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что <i>KS || AC</i> и <i>LT || AB</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.
На стороне <i>AB</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> (точка<i>K</i> лежит между <i>A</i> и <i>L</i>), а на стороне <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> (точка <i>M</i> между <i>C</i> и <i>N</i>). Известно, что <i>AK = KN = DN</i> и <i>BL = BC = CM</i>. Докажите, что если <i>BCNK</i> – вписанный четырёхугольник, то и <i>ADML</i> тоже вписан.
В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> и высота <i>BK</i> пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к <i>AC</i> и высота <i>CH</i>, также пересекаются в одной точке.
Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?
Выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i> таков, что <i>AB || CD, BC || AD, AC || DE</i>, <i>CE</i> ⊥ <i>BC</i>. Докажите, что <i>EC</i> – биссектриса угла <i>BED</i>.
Даны натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, причём <i>a</i> < 1000. Докажите, что если <i>a</i><sup>21</sup> делится на <i>b</i><sup>10</sup>, то <i>a</i>² делится на <i>b</i>.
Каждая из двух равных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> проходит через центр другой. Треугольник <i>ABC</i> вписан в ω<sub>1</sub>, а прямые <i>AC, BC</i> касаются ω<sub>2</sub>.
Докажите, что cos∠<i>A</i> + cos∠<i>B</i> = 1.
а) Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть <i>r</i><sub>1</sub> ≤ <i>r</i><sub>2</sub> ≤ <i>r</i><sub>3</sub> ≤ <i>r</i><sub>4</sub> – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников <i>ABC, BCD, CDA, DAB</i>. Может ли оказаться, что <i>r</i><sub>4</sub> > 2<i>r</i><sub>3</sub>? б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>E</i>. Пусть <i>r</i><sub>1</sub> ≤ <i>r</i><sub>2</sub> ≤ <i>r</i><sub>3</sub> ≤ <i>r</i><sub>4</sub> – взятые в...
Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие узлы)?