Кожевников П.А. — олимпиадные задачи по математике для 2-8 класса

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

Через вершины треугольника $ABC$ проведены параллельные прямые $l_a$, $l_b$, $l_c$. Пусть прямая $a$ симметрична высоте $AH_a$ относительно $l_a$. Аналогично определяем $b$, $c$. Докажите, что $a$, $b$, $c$ пересекаются в одной точке.

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?

Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?

В треугольнике<i>ABC  I</i>и<i>I_a</i>– центры вписанной и вневписанной окружностей,<i>A'</i>точка описанной окружности, диаметрально противоположная<i>A, AA</i>₁– высота. Докажите, что  ∠<i>IA'I_a</i>= ∠<i>IA</i>₁<i>I_a</i>.

Точка <i>M</i> лежит на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b</i>.

Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.

  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.

  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?

Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>KS || AC</i>  и  <i>LT || AB</i>.  Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> и высота <i>BK</i> пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к <i>AC</i> и высота <i>CH</i>, также пересекаются в одной точке.

Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?

Выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i> таков, что  <i>AB || CD,  BC || AD,  AC || DE</i>,  <i>CE</i> ⊥ <i>BC</i>.  Докажите, что <i>EC</i> – биссектриса угла <i>BED</i>.

Даны натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, причём  <i>a</i> < 1000.  Докажите, что если <i>a</i>²¹ делится на <i>b</i>¹⁰, то <i>a</i>² делится на <i>b</i>.

Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

а) Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников <i>ABC, BCD, CDA, DAB</i>. Может ли оказаться, что  <i>r</i>₄ > 2<i>r</i>₃? б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>E</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в...

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.

Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).