Кожевников П.А. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

Секущая пересекает первую окружность в точках $A_1, B_1$, а вторую – в точках $A_2, B_2$. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1, D_1$, а вторую – в точках $C_2, D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1\cap B_2D_2$, $A_1C_1\cap A_2C_2$, $A_2C_2\cap B_1D_1$, $B_2D_2\cap B_1D_1$ лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?

 Фиксированы окружность, точка <i>A</i> на ней и точка <i>K</i> вне окружности. Секущая, проходящая через <i>K</i>, пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что ортоцентры треугольников <i>APQ</i> лежат на фиксированной окружности.

Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) – некоторый многочлен ненулевой степени.

Может ли оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>  при любом значении <i>a</i> имеет чётное число решений?

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω_<i>b</i> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω_<i>c</i> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω_<i>b</i> и Ω_<i>c</i> имеют общую точку.

В пространстве даны три отрезка <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i>₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке <i>P</i>. Обозначим через <i>O_ijk</i> центр сферы, проходящей через точки <i>A_i, B_j, C_k</i> и <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>O</i>₁₁₁<i>O</i>₂₂₂, <i>O</i>₁₁₂<i>O</i><sub>2...

На стороне <i>AB</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> (точка<i>K</i> лежит между <i>A</i> и <i>L</i>), а на стороне <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> (точка <i>M</i> между <i>C</i> и <i>N</i>). Известно, что  <i>AK = KN = DN</i>  и  <i>BL = BC = CM</i>.  Докажите, что если <i>BCNK</i> – вписанный четырёхугольник, то и <i>ADML</i> тоже вписан.

Углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> совмещаются поворотом так, что луч <i>OA</i> совмещается с лучом <i>OC</i>, а луч <i>OB</i> – с <i>OD</i>. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Доказать, что углы <i>AOE</i> и <i>DOF</i> равны.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.

В пространстве дан треугольник <i>ABC</i> и сферы <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂, каждая из которых проходит через точки <i>A, B</i> и <i>C</i>. Для точек <i>M</i> сферы <i>S</i>₁, не лежащих в плоскости треугольника <i>ABC</i>, проводятся прямые <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>, пересекающие сферу <i>S</i>₂ вторично в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки <i>A</i>₁, <i>B</i...

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник <i>ABC</i> вписан в ω₁, а прямые <i>AC, BC</i> касаются ω₂.

Докажите, что  cos∠<i>A</i> + cos∠<i>B</i> = 1.

а) В треугольник <i>ABC</i> вписаны треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ так, что  <i>C</i>₁<i>A</i>₁ ⊥ <i>BC</i>,  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ ⊥ <i>CA</i>,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>AB</i>,  <i>B</i>₂<i>A</i>₂ ⊥ <i>BC</i>,  &...

Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие узлы)?