Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых l1, ..., ln, проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых l1, ..., ln, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и n строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки A и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от A ровно в этих двух столбцах. Докажите, что n ≥ 512.
2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по x1, ..., x2011 кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по y1, ..., y2011 кг цемента соответственно, причём x1 + x2 + ... + x2011 = y1 + y2 + ... + y2011. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел xi и yi и любой схеме дорог?
Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.
На прямой выбрано 100 множеств A1, A2, .. , A100, каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A1, A2, .. , A100является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
Докажите, что для любого натурального n > 2 число делится на 8.