Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.
Две окружностиS1иS2касаются внешним образом в точкеF. Их общая касательная касаетсяS1иS2в точкахAиBсоответственно. Прямая, параллельнаяAB, касается окружностиS2в точкеCи пересекает окружностьS1в точкахDиE. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольниковABCиBDE, проходит через точкуF.
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
На правой чаше чашечных весов лежит груз массой 11111 г. Весовщик последовательно раскладывает по чашам гири, первая из которых имеет массу 1 г, а каждая последующая вдвое тяжелее предыдущей. В какой-то момент весы оказались в равновесии. На какую чашу поставлена гиря 16 г?
Одновременно из деревень A и Б навстречу друг другу вышли Аня и Боря (их скорости постоянны, но не обязательно одинаковы). Если бы Аня вышла на 30 минут раньше, то они встретились бы на 2 км ближе к деревне Б. Если бы Боря вышел на 30 минут раньше, то встреча состоялась бы ближе к деревне A. На сколько?