Задача № 210011
Произведение положительных чисел x, y и z равно 1. Докажите, что если 1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z, то для любого натурального k выполнено неравенство x–k + y–k + z–k ≥ xk + yk + zk.
Злобин С.А. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209763
Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что
Задача № 209697
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство x² + y³ ≥ x³ + y4. Докажите, что x³ + y³ ≤ 2.
Задача № 208215
В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) точка O – центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO , точка M' симметрична M оносительно середины AB . Точка K – точка пересечения M'O и AB . Точка L на стороне BC такова, что CLO = BLM . Докажите, что точки O , K , B , L лежат на одной окружности.
Задача № 205133
Про положительные числа a, b, c известно, что 1/a + 1/b + 1/c ≥ a + b + c. Докажите, что a + b + c ≥ 3abc.
Задача № 205090
Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД(m + 2000n, n + 2000m)?
Задача № 205072
Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x² – 2000x = y² – 2000y. Найдите сумму чисел x и y.
Задача № 205061
Найдите все такие пары натуральных чисел x, y, что числа x³ + y и y³ + x делятся на x² + y².
Задача № 198481
Натуральные числа m и n взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь можно сократить на число d. Каково наибольшее возможное значение d?
Задача № 198440
Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых числа x³ + y и x + y³ делятся на x² + y².