Женодаров Р.Г. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа <i>n, n</i> + 1, ..., <i>n</i> + 8. При каких <i>n</i> он сможет это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65113/problem_65113_img_2.gif"></div>
В четырёхугольнике <i>ABCD </i>сторона <i>AB</i> равна диагонали <i>AC</i> и перпендикулярна стороне <i>AD</i>, а диагональ <i>AC</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>. На стороне <i>AD</i> взята такая точка <i>K</i> , что <i>AC = AK</i>. Биссектриса угла <i>ADC</i> пересекает <i>BK</i> в точке <i>M</i>. Найдите угол <i>ACM</i>.
В ромбе <i>ABCD</i> ∠<i>А</i> = 120°. На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что ∠<i>NAM</i> = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>NAM</i> лежит на диагонали ромба.