Женодаров Р.Г. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-2 с решениями
У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?
В ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причём они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?
Прямая касается окружности в точке <i>A</i>. На прямой выбрали точку <i>B</i> и повернули отрезок <i>AB</i> на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок <i>A'B'</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания <i>A</i> и <i>A'</i>, делит пополам отрезок <i>BB'</i>.
Многочлен <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i> имеет на интервале (0, 2) три корня. Докажите, что – 2 < <i>p + q + r</i> < 0.
Клетки доски 9×9 раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наименьшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)
Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску 8×8, чтобы все белые клетки были под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)
На доске написаны два 2007-значных числа. Известно, что из обоих чисел можно вычеркнуть по семь цифр так, чтобы получились одинаковые числа. Докажите, что в исходные числа можно вписать по семь цифр так, чтобы тоже получились одинаковые числа.
У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при a) <i>n</i> = 3; б) <i>n</i> = 1000.
У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при a) <i>n</i> = 2; б) <i>n</i> = 3.
В треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>A</i> = 60°. Серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>CB = MN</i>.
Отрезок единичной длины разбили на 11 отрезков, длина каждого из которых не превосходит <i>а</i>.
При каких значениях <i>а</i> можно утверждать, что из любых трёх получившихся отрезков можно составить треугольник?
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.
В некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?
Пусть <i>N</i> – натуральное число. Докажите, что в десятичной записи либо числа <i>N</i>, либо числа 3<i>N</i> найдётся одна из цифр 1, 2, 9.
В ящике лежат 100 шариков: белые, синие и красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?
В ящике лежат 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика различных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись три шарика различных цветов?
После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени <i>T</i> рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента <i>T</i>?
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> <i>AD = АВ + CD</i>. Оказалось, что биссектриса угла <i>А</i> проходит через середину стороны <i>ВС</i>.
Докажите, что биссектриса угла <i>D</i> также проходит через середину <i>ВС</i>.
Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
На стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>L</i> так, что <i>AL</i> в два раза больше медианы <i>CM</i>. Оказалось, что угол <i>ALC</i> равен 45°.
Докажите, что <i>AL</i> и <i>CM</i> перпендикулярны.
На стороне <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что <i>AD = BK</i>. Пусть <i>F</i> – точка пересечения диагонали <i>BD</i> и серединного перпендикуляра к стороне <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>A, F</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.
В шахматном турнире каждый из восьми участников сыграл с каждым. В случае ничьей (и только в этом случае) партия ровно один раз переигрывалась и результат переигровки заносился в таблицу. Барон Мюнхгаузен утверждает, что в итоге два участника турнира сыграли по 11 партий, один – 10 партий, три – по 8 партий и два – по 7 партий. Может ли он оказаться прав?