Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На стороне BC параллелограмма ABCD (∠A < 90°) отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O1, O2 и O3 – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок). Докажите, что ортоцентр треугольникаO1O2O3лежит на прямойAD.
Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M – проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM – прямой.
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1и s2, будут параллельны между собой.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.
Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.