Емельянов Л.А. — олимпиадные задачи по математике
Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.
Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.
Пусть <i>Р</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>АВС</i>. Обозначим через <i>А</i><sub>1</sub>, <i>В</i><sub>1</sub> и <i>С</i><sub>1</sub> точки пересечения прямых <i>АР, ВР</i> и <i>СР</i> соответственно со сторонами <i>ВС, СА</i> и <i>АВ</i>. Упорядочим площади треугольников <i>АВ</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub>, <i>А</i><sub>1</sub><i>ВС</i><sub>1</sub>, <i>А</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub><i>С</i>, обозначив меньшую через <i>S</i><sub>1</sub>, средн...
Квадрат разрезали на <i>n</i> прямоугольников размером <i>a<sub>i</sub></i>×<i>b<sub>i</sub></i>, <i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>.
При каком наименьшем <i>n</i> в наборе {<i>a</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub></i>} все числа могут оказаться различными?
В треугольнике <i>ABC O, M, N</i> – центр описанной окружности, центр тяжести и <i>точка Нагеля</i> соответственно.
Докажите, что угол <i>MON</i> прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
а) не больше ¾ <i>P</i>, где <i>P</i> – периметр этого треугольника;
б) не меньше ¾ <i>p</i>, где <i>p</i> – полупериметр этого треугольника.
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы угла <i>ABC</i> и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую <i>AC</i> в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> соответственно. Из точек <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, отличные от прямой <i>AC</i>. Они касаются ω в точках <i>K</i><sub>1</sub> и <i>K</i><sub>2</sub> соответственно. Докажите, что точки <i>B</i>, <i>K</i><sub>1</sub> и <i>K</i><sub>2</sub> лежат на одной прям...
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а биссектрисы углов <i>B</i> и <i>D</i> – в точке <i>Q</i>, отличной от <i>P</i>.
Докажите, что если отрезок <i>PQ</i> параллелен основанию <i>AD</i>, то трапеция равнобокая.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан вокруг окружности, касающейся сторон <i>AB, BC, CD, DA</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Точки <i>A', B', C', D'</i> – середины отрезков <i>LM, MN, NK, KL</i>. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми <i>AA', BB', CC', DD'</i>, – вписанный.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов <i>DAC, DBC, ACB</i> и <i>ADB</i> образовали ромб, то <i>AB = CD</i>.
Окружность с центром <i>I</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Пусть <i>I<sub>a</sub>, I<sub>b</sub>, I<sub>c</sub></i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся соответственно сторон <i>BC, CA, AB</i>. Отрезки <i>I<sub>a</sub>B</i><sub>1</sub> и <i>I<sub>b</sub>A</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>C</i><sub>2</sub>. Аналогично отрезки <i>I<sub>b<...
В треугольнике <i>АВС М</i> – точка пересечения медиан, <i>О</i> – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая <i>ОМ</i> параллельна стороне <i>ВС</i>, то точка <i>О</i> равноудалена от середин сторон <i>АВ</i> и <i>АС</i>.