Емельянов Л.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями

Пусть <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>A'</i> – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в <i>A</i>₀ и проходящую через <i>A'</i>. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге <i>BC</i>, не содержащей <i>A</i>, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

Какое наименьшее число сторон может иметь нечётноугольник (не обязательно выпуклый), который можно разрезать на параллелограммы?

В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/110043/problem_110043_img_2.gif"></div>Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.

На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7¹⁹⁹⁸. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998⁷?

Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>

f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>

Биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.

Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Биссектрисы внешних углов<i> A </i>и<i> B </i>пересекаются в точке<i> K </i>, внешних углов<i> B </i>и<i> C </i>– в точке<i> L </i>, внешних углов<i> C </i>и<i> D </i>– в точке<i> M </i>, внешних углов<i> D </i>и<i> A </i>– в точке<i> N </i>. Пусть<i> K₁ </i>,<i> L₁ </i>,<i> M₁ </i>,<i> N₁ </i>– точки пересечения высот треугольников<i> ABK </i>,<i> BCL </i>,<i> CDM </i>,<i> DAN </i>соответственно. До...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в <i>ABCD</i> окружность касается его сторон <i>AB, BC, CD</i> и <i>AD</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Биссектрисы внешних углов <i>A</i> и <i>B</i> четырёхугольника пересекаются в точке <i>K'</i>, внешних углов <i>B</i> и <i>C</i> – в точке <i>L'</i>, внешних углов <i>C</i> и <i>D</i> – в точке <i>M'</i>, внешних углов <i>D</i> и <i>A</i> – в точке <i>N'</i>. Докажите, что прямые <i>KK', LL', MM'</i> и <i>NN'</i> проход...

Пусть <i>I_A</i> и <i>I_B</i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I_ACP</i> и <i>I_BCP</i>, совпадает с центром окружности Ω.

На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i>₁ и <i>H</i>₂ являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i>₁<i>H</i>₂ проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...

Сфера с центром в плоскости основания<i> ABC </i>тетраэдра<i> SABC </i>проходит через вершины<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>и вторично пересекает ребра<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1, пересекаются в точке<i> O </i>. Докажите, что<i> O </i>– центр сферы, описанной около тетраэдра<i> SA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1.

Прямоугольник <i>m</i>×<i>n</i> разрезан на уголки: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109583/problem_109583_img_2.gif"></div>Докажите, что разность между количеством уголков вида<i>a</i>и количеством уголков вида<i>b</i>делится на 3.

Пусть <i>A', B'</i> и <i>C'</i> – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника <i>ABC</i>. Описанные окружности треугольников <i>A'B'C, AB'C'</i> и <i>A'BC'</i> пересекают второй раз описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сто...

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>  (<i>AB < BC</i>).  Докажите, что описанные окружности треугольников <i>APQ</i> для всевозможных точек <i>P</i> и <i>Q</i>, выбранных на сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно так, что  <i>CP = CQ</i>,  имеют общую точку, отличную от <i>A</i>.

Дан треугольник<i> ABC </i>. На прямой<i> AC </i>отмечена точка<i> B</i>1так, что<i> AB=AB</i>1, при этом<i> B</i>1и<i> C </i>находятся по одну сторону от<i> A </i>. Через точки<i> C </i>,<i> B</i>1и основание биссектрисы угла<i> A </i>треугольника<i> ABC </i>проводится окружность, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника<i> ABC </i>, в точке<i> Q </i>. Докажите, что касательная, проведённая кв точке<i> Q </i>, параллельна<i> AC </i>.

Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABCD </i>, и проведены биссектрисы<i> l_A </i>,<i> l_B </i>,<i> l_C </i>,<i> l_D </i>внешних углов этого четырёхугольника. Прямые<i> l_A </i>и<i> l_B </i>пересекаются в точке<i> K </i>, прямые<i> l_B </i>и<i> l_C </i>– в точке<i> L </i>, прямые<i> l_C </i>и<i> l_D </i>– в точке<i> M </i>, прямые<i> l_D </i>и<i> l_A &...

Пусть точка<i> A' </i>лежит на одной из сторон трапеции<i> ABCD </i>, причём прямая<i> AA' </i>делит площадь трапеции пополам. Точки<i> B' </i>,<i> C' </i>и<i> D' </i>определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>симметричны относительно середины средней линии трапеции<i> ABCD </i>.

Три окружности ω₁, ω₂ и ω₃ радиуса <i>r</i> проходят через точку <i>S</i> и касаются внутренним образом окружности ω радиуса <i>R</i>  (<i>R > r</i>)  в точках <i>T</i>₁, <i>T</i>₂ и <i>T</i>₃ соответственно. Докажите, что прямая <i>T</i>₁<i>T</i>₂ проходит через вторую (отличную от <i>S</i>) точку пересечения окружностей ω₁ и ω₂.

В треугольнике<i> ABC </i>медианы<i> AA' </i>,<i> BB' </i>и<i> CC' </i>продлили до пересечения с описанной окружностью в точках<i> A</i>0,<i> B</i>0и<i> C</i>0соответственно. Известно, что точка<i> M </i>пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>делит отрезок<i> AA</i>0пополам. Докажите, что треугольник<i> A</i>0<i>B</i>0<i>C</i>0– равнобедренный.

В параллелограмме <i>ABCD</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM = CN,  Q</i> – точка пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>CM</i>.

Докажите, что <i>DQ</i> – биссектриса угла <i>D</i>.

Пусть <i>A'</i> – точка касания вневписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Прямая <i>a</i> проходит через точку <i>A'</i> и параллельна биссектрисе внутреннего угла <i>A</i>. Аналогично строятся прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> пересекаются в одной точке.

На одной стороне угла с вершиной <i>O</i> взята точка <i>A</i>, а на другой – точки <i>B</i> и <i>C</i>, причём точка <i>B</i> лежит между <i>O</i> и <i>C</i>. Проведена окружность с центром <i>O</i>₁, вписанная в треугольник <i>OAB</i>, и окружность с центром <i>O</i>₂, касающаяся стороны <i>AC</i> и продолжений сторон <i>OA</i> и <i>OC</i> треугольника <i>AOC</i>. Докажите, что если  <i>O</i>₁<i>A = O</i>₂<i>A</i>,  то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  средняя линия, параллельная стороне <i>BC</i>, пересекается со вписанной окружностью в точке <i>F</i>, не лежащей на основании <i>AC</i>. Докажите, что касательная к окружности в точке <i>F</i> пересекается с биссектрисой угла <i>C</i> на стороне <i>AB</i>.

Пусть <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты остроугольного треугольника <i>ABC, O_A, O_B, O_C</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁, <i>BC</i>₁<i>A</i>₁, <i>CA</i>₁<i>B</i>₁ соответственно; <i>T_A, T_B, T_C</i> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторо...