Емельянов Л.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7<sup>1998</sup>. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998<sup>7</sup>?
Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>
f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>
Биссектрисы <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Биссектрисы внешних углов<i> A </i>и<i> B </i>пересекаются в точке<i> K </i>, внешних углов<i> B </i>и<i> C </i>– в точке<i> L </i>, внешних углов<i> C </i>и<i> D </i>– в точке<i> M </i>, внешних углов<i> D </i>и<i> A </i>– в точке<i> N </i>. Пусть<i> K<sub>1</sub> </i>,<i> L<sub>1</sub> </i>,<i> M<sub>1</sub> </i>,<i> N<sub>1</sub> </i>– точки пересечения высот треугольников<i> ABK </i>,<i> BCL </i>,<i> CDM </i>,<i> DAN </i>соответственно. До...
Пусть <i>I<sub>A</sub></i> и <i>I<sub>B</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I<sub>A</sub>CP</i> и <i>I<sub>B</sub>CP</i>, совпадает с центром окружности Ω.
На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i><sub>1</sub> и <i>H</i><sub>2</sub> являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i><sub>1</sub><i>H</i><sub>2</sub> проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...
Прямоугольник <i>m</i>×<i>n</i> разрезан на уголки: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109583/problem_109583_img_2.gif"></div>Докажите, что разность между количеством уголков вида<i>a</i>и количеством уголков вида<i>b</i>делится на 3.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i> (<i>AB < BC</i>). Докажите, что описанные окружности треугольников <i>APQ</i> для всевозможных точек <i>P</i> и <i>Q</i>, выбранных на сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно так, что <i>CP = CQ</i>, имеют общую точку, отличную от <i>A</i>.
Дан треугольник<i> ABC </i>. На прямой<i> AC </i>отмечена точка<i> B</i>1так, что<i> AB=AB</i>1, при этом<i> B</i>1и<i> C </i>находятся по одну сторону от<i> A </i>. Через точки<i> C </i>,<i> B</i>1и основание биссектрисы угла<i> A </i>треугольника<i> ABC </i>проводится окружность, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника<i> ABC </i>, в точке<i> Q </i>. Докажите, что касательная, проведённая кв точке<i> Q </i>, параллельна<i> AC </i>.
Пусть точка<i> A' </i>лежит на одной из сторон трапеции<i> ABCD </i>, причём прямая<i> AA' </i>делит площадь трапеции пополам. Точки<i> B' </i>,<i> C' </i>и<i> D' </i>определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>симметричны относительно середины средней линии трапеции<i> ABCD </i>.
Три окружности ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> и ω<sub>3</sub> радиуса <i>r</i> проходят через точку <i>S</i> и касаются внутренним образом окружности ω радиуса <i>R</i> (<i>R > r</i>) в точках <i>T</i><sub>1</sub>, <i>T</i><sub>2</sub> и <i>T</i><sub>3</sub> соответственно. Докажите, что прямая <i>T</i><sub>1</sub><i>T</i><sub>2</sub> проходит через вторую (отличную от <i>S</i>) точку пересечения окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>.
В треугольнике<i> ABC </i>медианы<i> AA' </i>,<i> BB' </i>и<i> CC' </i>продлили до пересечения с описанной окружностью в точках<i> A</i>0,<i> B</i>0и<i> C</i>0соответственно. Известно, что точка<i> M </i>пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>делит отрезок<i> AA</i>0пополам. Докажите, что треугольник<i> A</i>0<i>B</i>0<i>C</i>0– равнобедренный.
В параллелограмме <i>ABCD</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём <i>AM = CN, Q</i> – точка пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>CM</i>.
Докажите, что <i>DQ</i> – биссектриса угла <i>D</i>.
На одной стороне угла с вершиной <i>O</i> взята точка <i>A</i>, а на другой – точки <i>B</i> и <i>C</i>, причём точка <i>B</i> лежит между <i>O</i> и <i>C</i>. Проведена окружность с центром <i>O</i><sub>1</sub>, вписанная в треугольник <i>OAB</i>, и окружность с центром <i>O</i><sub>2</sub>, касающаяся стороны <i>AC</i> и продолжений сторон <i>OA</i> и <i>OC</i> треугольника <i>AOC</i>. Докажите, что если <i>O</i><sub>1</sub><i>A = O</i><sub>2</sub><i>A</i>, то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB = BC</i>) средняя линия, параллельная стороне <i>BC</i>, пересекается со вписанной окружностью в точке <i>F</i>, не лежащей на основании <i>AC</i>. Докажите, что касательная к окружности в точке <i>F</i> пересекается с биссектрисой угла <i>C</i> на стороне <i>AB</i>.
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC, O<sub>A</sub>, O<sub>B</sub>, O<sub>C</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>BC</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>, <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> соответственно; <i>T<sub>A</sub>, T<sub>B</sub>, T<sub>C</sub></i> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторо...
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
Существует ли правильная треугольная призма, которую можно оклеить (без наложений) различными равносторонними треугольниками? (Разрешается перегибать треугольники через рёбра призмы.)
В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.
Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $T$ – точка касания этой окружности со стороной $AC$. Пусть $P$ и $Q$ – ортоцентры треугольников $BAI$ и $BCI$. Докажите, что точки $T$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой.
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. (<i> Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника</i>.)
Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.
Пусть <i>Р</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>АВС</i>. Обозначим через <i>А</i><sub>1</sub>, <i>В</i><sub>1</sub> и <i>С</i><sub>1</sub> точки пересечения прямых <i>АР, ВР</i> и <i>СР</i> соответственно со сторонами <i>ВС, СА</i> и <i>АВ</i>. Упорядочим площади треугольников <i>АВ</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub>, <i>А</i><sub>1</sub><i>ВС</i><sub>1</sub>, <i>А</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub><i>С</i>, обозначив меньшую через <i>S</i><sub>1</sub>, средн...
Квадрат разрезали на <i>n</i> прямоугольников размером <i>a<sub>i</sub></i>×<i>b<sub>i</sub></i>, <i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>.
При каком наименьшем <i>n</i> в наборе {<i>a</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub></i>} все числа могут оказаться различными?