Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Правильный треугольник, лежащий в плоскости , ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость , полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость и получили снова правильный треугольник. Докажите, что а) угол между плоскостями и равен углу между плоскостями и ; б) плоскость пересекает плоскости и по перпендикулярным друг другу прямым.
Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.
Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С, обозначив меньшую через S1, среднюю – S2, а большую – S3. Докажите, что где S – площадь треугольника А1В1С1.
Квадрат разрезали на n прямоугольников размером ai×bi, i = 1, ..., n. При каком наименьшем n в наборе {a1, b1, ..., an, bn} все числа могут оказаться различными?
В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно. Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника; б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B1 и B2 соответственно. Из точек B1 и B2 провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K1 и K2 соответственно. Докажите, что точки B, K1 и K2 лежат на одной прямой.
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D – в точке Q, отличной от P. Докажите, что если отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.
Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности, касающейся сторон AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Точки A', B', C', D' – середины отрезков LM, MN, NK, KL. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми AA', BB', CC', DD', – вписанный.
В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то AB = CD.
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 – в точке B2. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A2B2C2.
В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.