Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы lA , lB , lC , lD внешних углов этого четырёхугольника. Прямые lA и lB пересекаются в точке K , прямые lB и lC – в точке L , прямые lC и lD – в точке M , прямые lD и lA – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.
Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' , C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD .
Три окружности ω1, ω2 и ω3 радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним образом окружности ω радиуса R (R > r) в точках T1, T2 и T3 соответственно. Докажите, что прямая T1T2 проходит через вторую (отличную от S) точку пересечения окружностей ω1 и ω2.
В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0, B0и C0соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0– равнобедренный.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку N . Окружности, описанные около треугольников BQK и BPM , пересекаются в точке B1. Докажите, что BPB1Q – параллелограмм.
В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём AM = CN, Q – точка пересечения отрезков AN и CM. Докажите, что DQ – биссектриса угла D.
Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.
На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O1, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O2, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если O1A = O2A, то треугольник ABC равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.
Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты остроугольного треугольника ABC, OA, OB, OC – центры вписанных окружностей треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно; TA, TB, TC – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника TAOCTBOATCOB равны. Также доступны документы в формате TeX
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.
Существует ли правильная треугольная призма, которую можно оклеить (без наложений) различными равносторонними треугольниками? (Разрешается перегибать треугольники через рёбра призмы.)
Докажите неравенство при любых натуральных n и k.
Вневписанные окружности касаются сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и L. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB, а) делит периметр треугольника ABC пополам; б) параллельна биссектрисе угла ACB.
В остроугольном треугольнике – ортоцентр; , , – точки касания вписанной окружности с , , соответственно; , , – середины , , соответственно; окружность с центром , проходящая через , повторно пересекает биссектрису угла в точке ; точки , определены аналогично. Докажите, что треугольники и подобны.
В остроугольном треугольнике – медиана, – проекция ортоцентра на биссектрису угла . Докажите, что делит отрезок пополам.
В треугольнике вписанная окружность касается сторон , , в точках , и соответственно, – произвольная точка этой окружности. Прямая вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке . Аналогично строятся точки и . Докажите, что описанная около треугольника окружность касается .
Точка – центр вписанной окружности треугольника , а – точка касания этой окружности со стороной . Пусть и – ортоцентры треугольников и . Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Окружности и пересекаются в точках и . Через точку проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках и . Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой принимает наибольшее значение.
Дан треугольник . Прямая касается его вписанной окружности в точке , а вневписанной, касающейся стороны , – в точке . Аналогично определяются точки , , , , , , , , , . Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников , , , . а) Какое наибольшее число различных может быть среди них? б) Найдите все возможные количества различных длин.
В выпуклом четырехугольнике точки , , , – середины сторон , , , соответственно. Отрезки , , , , пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что – параллелограмм?
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми , , симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.