Емельянов Л.А. — олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса

Какое наименьшее число сторон может иметь нечётноугольник (не обязательно выпуклый), который можно разрезать на параллелограммы?

В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/110043/problem_110043_img_2.gif"></div>Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.

Среди пяти внешне одинаковых монет 3 настоящие и две фальшивые, одинаковые по весу, но неизвестно, тяжелее или легче настоящих. Как за наименьшее число взвешиваний найти хотя бы одну настоящую монету?

На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7¹⁹⁹⁸. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998⁷?

Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Биссектрисы внешних углов<i> A </i>и<i> B </i>пересекаются в точке<i> K </i>, внешних углов<i> B </i>и<i> C </i>– в точке<i> L </i>, внешних углов<i> C </i>и<i> D </i>– в точке<i> M </i>, внешних углов<i> D </i>и<i> A </i>– в точке<i> N </i>. Пусть<i> K₁ </i>,<i> L₁ </i>,<i> M₁ </i>,<i> N₁ </i>– точки пересечения высот треугольников<i> ABK </i>,<i> BCL </i>,<i> CDM </i>,<i> DAN </i>соответственно. До...

Прямоугольник <i>m</i>×<i>n</i> разрезан на уголки: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109583/problem_109583_img_2.gif"></div>Докажите, что разность между количеством уголков вида<i>a</i>и количеством уголков вида<i>b</i>делится на 3.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>  (<i>AB < BC</i>).  Докажите, что описанные окружности треугольников <i>APQ</i> для всевозможных точек <i>P</i> и <i>Q</i>, выбранных на сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно так, что  <i>CP = CQ</i>,  имеют общую точку, отличную от <i>A</i>.

Дан треугольник<i> ABC </i>. На прямой<i> AC </i>отмечена точка<i> B</i>1так, что<i> AB=AB</i>1, при этом<i> B</i>1и<i> C </i>находятся по одну сторону от<i> A </i>. Через точки<i> C </i>,<i> B</i>1и основание биссектрисы угла<i> A </i>треугольника<i> ABC </i>проводится окружность, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника<i> ABC </i>, в точке<i> Q </i>. Докажите, что касательная, проведённая кв точке<i> Q </i>, параллельна<i> AC </i>.

Три окружности ω₁, ω₂ и ω₃ радиуса <i>r</i> проходят через точку <i>S</i> и касаются внутренним образом окружности ω радиуса <i>R</i>  (<i>R > r</i>)  в точках <i>T</i>₁, <i>T</i>₂ и <i>T</i>₃ соответственно. Докажите, что прямая <i>T</i>₁<i>T</i>₂ проходит через вторую (отличную от <i>S</i>) точку пересечения окружностей ω₁ и ω₂.

В треугольнике<i> ABC </i>медианы<i> AA' </i>,<i> BB' </i>и<i> CC' </i>продлили до пересечения с описанной окружностью в точках<i> A</i>0,<i> B</i>0и<i> C</i>0соответственно. Известно, что точка<i> M </i>пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>делит отрезок<i> AA</i>0пополам. Докажите, что треугольник<i> A</i>0<i>B</i>0<i>C</i>0– равнобедренный.

В параллелограмме <i>ABCD</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  <i>AM = CN,  Q</i> – точка пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>CM</i>.

Докажите, что <i>DQ</i> – биссектриса угла <i>D</i>.

На одной стороне угла с вершиной <i>O</i> взята точка <i>A</i>, а на другой – точки <i>B</i> и <i>C</i>, причём точка <i>B</i> лежит между <i>O</i> и <i>C</i>. Проведена окружность с центром <i>O</i>₁, вписанная в треугольник <i>OAB</i>, и окружность с центром <i>O</i>₂, касающаяся стороны <i>AC</i> и продолжений сторон <i>OA</i> и <i>OC</i> треугольника <i>AOC</i>. Докажите, что если  <i>O</i>₁<i>A = O</i>₂<i>A</i>,  то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  средняя линия, параллельная стороне <i>BC</i>, пересекается со вписанной окружностью в точке <i>F</i>, не лежащей на основании <i>AC</i>. Докажите, что касательная к окружности в точке <i>F</i> пересекается с биссектрисой угла <i>C</i> на стороне <i>AB</i>.

Пусть <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты остроугольного треугольника <i>ABC, O_A, O_B, O_C</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁, <i>BC</i>₁<i>A</i>₁, <i>CA</i>₁<i>B</i>₁ соответственно; <i>T_A, T_B, T_C</i> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторо...

Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $H$ – ортоцентр; $A_1$, $B_1$, $C_1$ – точки касания вписанной окружности с $BC$, $CA$, $AB$ соответственно; $E_A$, $E_B$, $E_C$ – середины $AH$, $BH$, $CH$ соответственно; окружность с центром $E_A$, проходящая через $A$, повторно пересекает биссектрису угла $A$ в точке $A_2$; точки $B_2$, $C_2$ определены аналогично. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$. а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. (<i> Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника</i>.)

Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?

Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что

  а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;

  б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.

Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.