Емельянов Л.А. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.

Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $T$ – точка касания этой окружности со стороной $AC$. Пусть $P$ и $Q$ – ортоцентры треугольников $BAI$ и $BCI$. Докажите, что точки $T$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой.

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$. а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?

Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?

Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.

Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что

  а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;

  б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.

Пусть <i>Р</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>АВС</i>. Обозначим через <i>А</i>₁, <i>В</i>₁ и <i>С</i>₁ точки пересечения прямых <i>АР, ВР</i> и <i>СР</i> соответственно со сторонами <i>ВС, СА</i> и <i>АВ</i>. Упорядочим площади треугольников <i>АВ</i>₁<i>С</i>₁, <i>А</i>₁<i>ВС</i>₁, <i>А</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>, обозначив меньшую через <i>S</i>₁, средн...

В треугольнике <i>ABC  O, M, N</i> – центр описанной окружности, центр тяжести и <i>точка Нагеля</i> соответственно.

Докажите, что угол <i>MON</i> прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан вокруг окружности, касающейся сторон <i>AB, BC, CD, DA</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Точки <i>A', B', C', D'</i> – середины отрезков <i>LM, MN, NK, KL</i>. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми <i>AA', BB', CC', DD'</i>, – вписанный.

Окружность с центром <i>I</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>I_a, I_b, I_c</i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся соответственно сторон <i>BC, CA, AB</i>. Отрезки <i>I_aB</i>₁ и <i>I_bA</i>₁ пересекаются в точке <i>C</i>₂. Аналогично отрезки <i>I<sub>b&lt...