Задача № 216197
Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.
Евдокимов М.А. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210039
Миша решил уравнение x² + ax + b = 0 и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?
Задача № 209999
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
Задача № 209664
Внутри параболы y = x² расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине.
Задача № 209641
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997. Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Задача № 209638
Можно ли прямоугольник покрыть уголками из трёх клеток (т.е. фигурками, которые получаются из квадрата удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоёв так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?
Задача № 208243
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D – точка пересечения прямых B1C1 и A1K. Докажите, что CD = CB1.
Задача № 208169
а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат. б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.
Задача № 208152
Вписанная окружность треугольника ABC (AB > BC) касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.
Задача № 208101
На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O1, O2, O3 и O4 – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2; б) площадь четырёхугольника O1O2O3O4 не превосходит 1.
Задача № 208087
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.
Задача № 208075
Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности?
Задача № 207841
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Задача № 205085
Пусть f(x) = x² + 12x + 30. Решите уравнение f(f(f(f(f(x))))) = 0.
Задача № 203829
Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый из них бил ровно двух других.
Задача № 198334
Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону "угол падения равен углу отражения".)
Задача № 167500
На стороне прямоугольника взята точка . Из вершины опустили перпендикуляр на отрезок . Оказалось, что отрезки и делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны , равны, то и третий круг им равен.
Задача № 167482
В равностороннем треугольнике проведены отрезки и , так что образовались два равносторонних треугольника и со сторонами 1 и 100 (точки и лежат на стороне ). Отрезки и пересекаются в точке , причём угол равен . Чему равна сторона треугольника ?
Задача № 167475
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с прямым углом . Чему равно отношение объёмов (меньшего к большему), в котором призму делит плоскость, проходящая через середины рёбер , и , если длины этих рёбер равны?
Задача № 167473
Из прямого угла прямоугольного треугольника опущена высота, и в образовавшиеся треугольники вписаны два квадрата (как на рисунке).Чему может быть равна сумма площадей этих квадратов, если длина биссектрисы прямого угла треугольника равна ?
Задача № 167472
На столе лежит колода из 36 карт, верхняя из которых червонный туз. За одно «перемешивание» фокусник снимает верхнюю половину колоды и кладёт рядом с нижней, а затем делает так, чтобы карты двух стопок чередовались: сначала нижняя карта левой или правой стопки, потом первая снизу другой стопки, потом вторая снизу карта первой стопки, вторая снизу карта другой стопки, и так далее (см. рисунок).Какое наименьшее число перемешиваний нужно сделать фокуснику, чтобы червонный туз оказался нижней картой колоды? При каждом перемешивании то, из какой половины карта окажется снизу, фокусник выбирает сам.
Задача № 167463
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
Задача № 167461
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием . Их вершины и лежат по разные стороны от плоскости . Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Задача № 167459
На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?
Задача № 167451
В треугольнике с прямым углом провели высоту . Окружность, проходящая через точки и , повторно пересекает отрезки , и в точках , и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке . Что больше: площадь треугольника или сумма площадей треугольников и ?
1–25 из 156