Задача № 167449
Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось ?
Евдокимов М.А. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167444
На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 12 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?
Задача № 167424
Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке ниже. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?
Задача № 167423
В последовательности действительных чисел , , ... каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида (где = 1, 2, 3, ...) имеют общую точку.
Задача № 167421
Два пирата делят 25 золотых монет разного достоинства, выложенные в виде квадрата 5×5. Пираты по очереди берут по одной монете с краю (монету можно взять, если слева, или справа, или снизу, или сверху от неё нет другой). Верно ли, что первый пират всегда может действовать так, чтобы гарантированно получить хотя бы половину суммарной добычи?
Задача № 167419
Шахматную доску 8×8 перекрасили в несколько цветов (каждую клетку – в один цвет). Оказалось, что если две клетки – соседние по диагонали или отстоят друг от друга на ход коня, то они обязательно разного цвета. Какое наименьшее число цветов могло быть использовано?
Задача № 167390
У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)
Задача № 167388
Квадрат клеток надо покрыть полосками клеток. Сделайте это так, чтобы каждая клетка была покрыта одной или двумя полосками, но никакой прямоугольник не был покрыт в два слоя. (Полоски кладут по линиям сетки горизонтально или вертикально, полоски не должны выходить за границу квадрата.)
Задача № 167385
Из 54 красных и 54 белых брусков 1×1×2 сложили куб 6×6×6. Какое наибольшее количество красных клеточек могло оказаться на поверхности куба?
Задача № 167362
Вершины , , прямоугольника лежат на сторонах , , соответственно правильного треугольника так, что , , а вершина лежит вне треугольника. Найдите угол .
Задача № 167361
Из бумаги вырезан квадрат, сторона которого равна 1. Сделав не больше 20 сгибов, постройте отрезок длины 1/2024. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу по прямым и отмечать точки пересечения линий сгиба.
Задача № 167352
На плоскости начерчены треугольник , описанная около него окружность и центр его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.
Задача № 167329
Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Задача № 167328
В спорткомплексе 99 шкафчиков с номерами от 01 до 99. На браслете с ключом цифры написаны по образцу на рисунке: По браслету непонятно, где низ, а где верх, и поэтому иногда нельзя однозначно определить номер своего шкафчика (например, браслеты, соответствующие номерам 10 и 01, выглядят одинаково). Мише выдали один из ключей. В скольких случаях из 99 он, посмотрев на браслет, не сможет однозначно определить номер своего шкафчика?
Задача № 167322
Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?
Задача № 167319
В тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка , где – точка пересечения высот грани , провели прямую перпендикулярно плоскости . Аналогичным образом определили точки , , и построили прямые , , соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые , , , пересекаются в одной точке.
Задача № 167315
У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны , , , и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
Задача № 167305
Вася выбрал различных натуральных чисел из множества и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего звёздочек и знаков корня) Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?
Задача № 167301
На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Задача № 167293
Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты?
Задача № 167281
Миша сложил из восьми брусков куб (см. рис.). Все бруски имеют один и тот же объём, серые бруски одинаковые и белые бруски тоже одинаковые. Какую часть ребра куба составляют длина, ширина и высота белого бруска?
Задача № 167275
Рассмотрим различные прямоугольники периметра 10, лежащие внутри квадрата со стороной 10. Чему равна наибольшая возможная площадь закрашенной звёздочки (см. рисунок)? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Задача № 167261
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.
Задача № 167204
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны , , , , . Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Задача № 167202
Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?
26–50 из 156