Задача № 209999
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
Евдокимов М.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209638
Можно ли прямоугольник покрыть уголками из трёх клеток (т.е. фигурками, которые получаются из квадрата удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоёв так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?
Задача № 208169
а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат. б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.
Задача № 207841
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Задача № 167319
В тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка , где – точка пересечения высот грани , провели прямую перпендикулярно плоскости . Аналогичным образом определили точки , , и построили прямые , , соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые , , , пересекаются в одной точке.
Задача № 167293
Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты?
Задача № 167204
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны , , , , . Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Задача № 167199
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Задача № 167193
На плоскости даны две окружности и , касающиеся внешним образом. На окружности выбран диаметр , а на окружности выбран диаметр . Рассмотрим всевозможные положения точек , , и , при которых — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек .
Задача № 167192
На экране суперкомпьютера напечатано число ( единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде , где состоит из двух его последних цифр, и заменяется на (если начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, заменяется на . Если на экране остаётся число, меньшее , то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?
Задача № 166879
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?
Задача № 166612
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
Задача № 166493
В остроугольном треугольнике проведены высоты и . Окружность, описанная вокруг треугольника , проходит через точку пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла .
Задача № 165472
Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если а) h = 17 см; б) h = 18 см?