Задача № 209999
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
Евдокимов М.А. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209664
Внутри параболы y = x² расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине.
Задача № 209641
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997. Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Задача № 208101
На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O1, O2, O3 и O4 – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2; б) площадь четырёхугольника O1O2O3O4 не превосходит 1.
Задача № 207841
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x. Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Задача № 205085
Пусть f(x) = x² + 12x + 30. Решите уравнение f(f(f(f(f(x))))) = 0.
Задача № 167500
На стороне прямоугольника взята точка . Из вершины опустили перпендикуляр на отрезок . Оказалось, что отрезки и делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны , равны, то и третий круг им равен.
Задача № 167482
В равностороннем треугольнике проведены отрезки и , так что образовались два равносторонних треугольника и со сторонами 1 и 100 (точки и лежат на стороне ). Отрезки и пересекаются в точке , причём угол равен . Чему равна сторона треугольника ?
Задача № 167475
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с прямым углом . Чему равно отношение объёмов (меньшего к большему), в котором призму делит плоскость, проходящая через середины рёбер , и , если длины этих рёбер равны?
Задача № 167473
Из прямого угла прямоугольного треугольника опущена высота, и в образовавшиеся треугольники вписаны два квадрата (как на рисунке).Чему может быть равна сумма площадей этих квадратов, если длина биссектрисы прямого угла треугольника равна ?
Задача № 167472
На столе лежит колода из 36 карт, верхняя из которых червонный туз. За одно «перемешивание» фокусник снимает верхнюю половину колоды и кладёт рядом с нижней, а затем делает так, чтобы карты двух стопок чередовались: сначала нижняя карта левой или правой стопки, потом первая снизу другой стопки, потом вторая снизу карта первой стопки, вторая снизу карта другой стопки, и так далее (см. рисунок).Какое наименьшее число перемешиваний нужно сделать фокуснику, чтобы червонный туз оказался нижней картой колоды? При каждом перемешивании то, из какой половины карта окажется снизу, фокусник выбирает сам.
Задача № 167463
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
Задача № 167461
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием . Их вершины и лежат по разные стороны от плоскости . Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Задача № 167459
На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?
Задача № 167451
В треугольнике с прямым углом провели высоту . Окружность, проходящая через точки и , повторно пересекает отрезки , и в точках , и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке . Что больше: площадь треугольника или сумма площадей треугольников и ?
Задача № 167449
Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось ?
Задача № 167444
На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 12 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?
Задача № 167424
Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке ниже. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?
Задача № 167423
В последовательности действительных чисел , , ... каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида (где = 1, 2, 3, ...) имеют общую точку.
Задача № 167362
Вершины , , прямоугольника лежат на сторонах , , соответственно правильного треугольника так, что , , а вершина лежит вне треугольника. Найдите угол .
Задача № 167361
Из бумаги вырезан квадрат, сторона которого равна 1. Сделав не больше 20 сгибов, постройте отрезок длины 1/2024. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу по прямым и отмечать точки пересечения линий сгиба.
Задача № 167352
На плоскости начерчены треугольник , описанная около него окружность и центр его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.
Задача № 167322
Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?
Задача № 167319
В тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка , где – точка пересечения высот грани , провели прямую перпендикулярно плоскости . Аналогичным образом определили точки , , и построили прямые , , соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые , , , пересекаются в одной точке.
Задача № 167315
У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны , , , и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
1–25 из 97