Дольников В.Л. — олимпиадные задачи по математике
Дана последовательность неотрицательных чисел<i> a<sub>1</sub> </i>,<i> a<sub>2</sub> </i>,<i> a<sub>n</sub> </i>. Для любого<i> k </i>от 1 до<i> n </i>обозначим через<i> m<sub>k</sub> </i>величину <center><i>
<img src="/storage/problem-media/109710/problem_109710_img_2.gif"><sub>l=</sub></i>1<i>,</i>2<i>,..,k <img src="/storage/problem-media/109710/problem_109710_img_3.gif">.
</i></center> Докажите, что при любом<i> α></i>0число тех<i> k </i>, для которых<i> m<sub>k</sub>>α </i>, меньше, чем<i>a<sub>1</sub>+...
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник<i> ABCDE </i>с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника<i> A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>E<sub>1</sub> </i><i> (см. рис.) </i>есть хотя бы одна целая точка. <center><i> <img src="/storage/problem-media/109709/problem_109709_img_2.gif"> </i></center>
В некоторой группе из 12 человек среди каждых девяти найдутся пять попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся шесть попарно знакомых.
Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из2<i>k </i>элементов (<i> k </i>– фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из(<i>k+</i>1)<i><sup>2</sup> </i>элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем1<i>/<img src="/storage/problem-media/109669/problem_109669_img_2.gif"> </i>. Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
На плоскости нарисовано некоторое семейство<i> S </i>правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства<i> S </i>содержит хотя бы одну из них.
Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.
На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?
Контуры выпуклых многоугольников <i>F</i> и <i>G</i> не имеют общих точек, причём <i>G</i> расположен внутри <i>F</i>. Хорду многоугольника <i>F</i> – отрезок, соединяющий две точки контура <i>F</i>, назовём опорной для <i>G</i>, если она пересекается с <i>G</i> только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону <i>G</i>.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру <i>G</i>.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.
Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?
На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)
В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город <i>A доступен</i> для города <i>B</i>, если из <i>B</i> можно долететь в <i>A</i>, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов <i>P</i> и <i>Q</i> существует город <i>R</i>, для которого и <i>P</i>, и <i>Q</i> доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что город доступен для себя.)