Задача № 210860
На продолжении стороны BC треугольника ABC за вершину B отложен отрезок BB', равный стороне AB. Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке M. Докажите, что точки A, B', C и M лежат на одной окружности.
Гордин Р.К. — олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210485
Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны: 1) все грани равновелики; 2) каждое ребро равно противоположному; 3) все грани равны; 4) центры описанной и вписанной сфер совпадают; 5) суммы углов при каждой вершине равны; 6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180o ; 7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии; 8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности; 9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;...
Задача № 209195
На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что лучи A1A, B1B и С1C являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1. Докажите, что AA1, BB1 и СС1 – высоты треугольника ABC.
Задача № 209191
В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.
Задача № 198496
Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина – на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.
Задача № 166177
Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.
Задача № 164450
В треугольнике ABC угол C прямой. На катете CB как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка N – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая AN делит пополам биссектрису CL.