Голованов А.С. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Натуральное число <i>N</i> представляется в виде <i>N = a</i><sub>1</sub> – <i>a</i><sub>2</sub> = <i>b</i><sub>1</sub> – <i>b</i><sub>2</sub> = <i>c</i><sub>1</sub> – <i>c</i><sub>2</sub> = <i>d</i><sub>1</sub> – <i>d</i><sub>2</sub>, где <i>a</i><sub>1</sub> и <i>a</i><sub>2</sub> – квадраты, <i>b</i><sub>1</sub> и <i>b</i><sub>2</sub> – кубы, <i>c</i><sub>1</sub> и <i>c</i><sub>2</sub> – пятые степени, а <i>d</i><sub>1</su...
Пусть <i>n</i> > 1 – натуральное число. Выпишем дроби <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub>, <sup>2</sup>/<sub><i>n</i></sub>, ..., <sup><i>n</i>–1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через <i>f</i>(<i>n</i>). При каких натуральных <i>n</i> > 1 числа <i>f</i>(<i>n</i>) и <i>f</i>(2015<i>n</i>) имеют разную чётность?
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB < AC</i>) вписан в окружность Ω. Пусть <i>M</i> – точка пересечения его медиан, а <i>AH</i> – высота. Луч <i>MH</i> пересекает Ω в точке <i>A'</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A'HB</i> касается прямой <i>AB</i>.
Положительные рациональные числа <i>a</i> и <i>b</i> записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа <i>a – b</i> длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном <i>k</i> длина минимального периода десятичной записи числа <i>a + kb</i> может также оказаться равной 15?
Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?