Голованов А.С. — олимпиадные задачи по математике для 2-9 класса
Докажите, что для натуральных чисел <i>k, m</i> и <i>n</i> справедливо неравенство [<i>k, m</i>][<i>m, n</i>][<i>n, k</i>] ≥ [<i>k, m, n</i>]².
Даны три приведённых квадратных трехчлена: <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>) и <i>P</i><sub>3</sub>(<i>x</i>). Докажите, что уравнение |<i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)| + |<i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>)| = |<i>P</i><sub>3</sub>(<i>x</i>)| имеет не более восьми корней.
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>1</sub>, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>2</sub>, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
Дан кубический многочлен <i>f</i>(<i>x</i>). Назовём <i>циклом</i> такую тройку различных чисел (<i>a, b, c</i>), что <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>b, f</i>(<i>b</i>) = <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) = <i>a</i>. Известно, что нашлись восемь циклов (<i>a<sub>i</sub>, b<sub>i</sub>, c<sub>i</sub></i>), <i>i</i> = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида <i>a<sub>i</sub> + b<sub>i</sub> + c<sub>i</sub></i> есть хотя бы три различных.
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB < AC</i>) вписан в окружность Ω. Пусть <i>M</i> – точка пересечения его медиан, а <i>AH</i> – высота. Луч <i>MH</i> пересекает Ω в точке <i>A'</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A'HB</i> касается прямой <i>AB</i>.
Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?