Задача № 211925
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции y= sin x, x(0;α). Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α(;π); б) α(0;)?
Галочкин А.И. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211347
На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?
Задача № 209860
Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2. Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .
Задача № 209607
Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).
Задача № 209565
Докажите, что если(x+)(y+)=1, то x+y=0.
Задача № 207794
Для какого наибольшегоnможно придумать две бесконечные в обе стороны последовательностиAиBтакие, что любой кусок последовательностиBдлинойnсодержится вA,Aимеет период 1995, аBэтим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.
Задача № 167028
В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в это же число раз первоначальное количество значков, оставив прежним количество браслетов, то у него будет 101 предмет. Сколько значков и сколько браслетов могло быть в коллекции Алика?
Задача № 167020
Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в раз, не меняя количества монет, то у него будет предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Задача № 166752
На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.
Задача № 166610
На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится в промежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если ее впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7. Например, все числа 259, 2569, 25669, 256669, ..., а также 2359, 23359, 233359, ... делятся на 7.
Задача № 165682
На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью – ½, за проигрыш – 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?