Задача № 210184
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки. Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?
Волченков С.Г. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210147
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.
Задача № 209801
В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник Π . Докажите, что в прямоугольник Π можно поместить одну из граней параллелепипеда.
Задача № 209692
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел a1, a2, a3, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено
Задача № 186115
Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?
Задача № 165246
Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на n одинаковых фигурок из k клеток. Докажите, что его можно разрезать и на k одинаковых фигурок из n клеток.
Задача № 165126
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?