Богданов И.И. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2-3 с решениями

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности, лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>F</i>. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AB, CD</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AD, BC</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>KL, AC</i> и <i>EF</i> пересекаются в одной точке.

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть <i>S</i> – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать <i>S</i>?

Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой  <i>CK = BC</i>.  Отрезок <i>CK</i> пересекает биссектрису <i>AL</i> в её середине.

Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

Найдите все такие тройки действительных чисел <i>x, y, z</i>, что  1 + <i>x</i>⁴ ≤ 2(<i>y – z</i>)² 1 + <i>y</i>⁴ ≤ 2(<i>z – x</i>)²,  1 + <i>z</i>⁴ ≤ 2(<i>x – y</i>)².

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел <i>a, b</i>, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² – <i>ax + b</i> = 0  и  <i>x</i>² – <i>bx + a</i> = 0  имеет два целых корня?

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.

Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при <i>x</i>², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при <i>x</i>, то получатся трёхчлены, имеющие корни.

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.

Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.

При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

Дана неравнобокая трапеция <i>ABCD</i>. Точка <i>A</i>₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника <i>BCD</i> с прямой <i>AC</i>,

отличная от <i>C</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ – тоже трапеция.

Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?

Сережа нарисовал треугольник <i>ABC</i> и провёл в нем медиану <i>AD</i>. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы <i>AD</i> и какова длина стороны <i>AC</i>. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол <i>CAB</i> тупой, а угол <i>DAB</i> острый. Найдите отношение  <i>AD</i> : <i>AC</i>  (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Все целые числа от<i> -</i>33до100включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)