Богданов И.И. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число 1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.
В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?
В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?
На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх.
Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90° относительно своего начального положения?
На сторонах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> построены во внешнюю сторону квадраты с центрами <i>D, E, F</i>.
Докажите, что отношение <i>S<sub>DEF</sub></i> : <i>S<sub>ABC</sub></i> а) больше 1; б) не меньше 2.
Пусть <i>n</i> – натуральное число. На 2<i>n</i> + 1 карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении *<i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + *<i>x</i><sup>2<i>n</i>–1</sup> + ... *<i>x</i> + * так, чтобы полученный многочлен не имел <i>целых</i> корней. Всегда ли это можно сделать?
Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что <i>KS || AC</i> и <i>LT || AB</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.
Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65727/problem_65727_img_2.gif">
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
На гипотенузе <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что <i>AB = AK</i>. Отрезок <i>AK</i> пересекает биссектрису <i>CL</i> в её середине.
Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>.
Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.
Найдите углы треугольника.
Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.
Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.
На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.
Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке <i>O</i>.
Докажите, что <i>S<sub>AOB</sub> + S<sub>COD</sub></i> ≤ 2(<i>S<sub>AOD</sub> + S<sub>BOC</sub></i>).
У папы Карло есть 130 дощечек. Из 5 дощечек он может сделать игрушечную мельницу, из 7 дощечек – пароход, из 14 дощечек – самолёт. Самолёт стоит 19 золотых, пароход – 8 золотых, мельница – 6 золотых. Какое наибольшее количество золотых может заработать папа Карло?
Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.
Даны многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>) не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i> +1) = <i>Q</i>(<i>x –</i> 1) имеет хотя бы один действительный корень.
Даны различные действительные числа <i>a, b, с</i>. Докажите, что хотя бы два из уравнений (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>) = <i>x – c</i>, (<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>) = <i>x – a</i>,
(<i>x – c</i>)(<i>x – a</i>) = <i>x – b</i> имеют решение.
В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AK</i> перпендикулярна медиане <i>CL</i>.
Докажите, что в треугольнике <i>BKL</i> также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,002 г.
Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.
Про положительные числа <i>a, b, c, d, e</i> известно, что <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² + <i>e</i>² = <i>ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de</i>.
Докажите, что среди этих чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.